大家好,乐乐来为大家解答以下的问题，关于欧拉线证明，欧拉线这个很多人还不知道,那么今天让乐乐带着大家一起来看看吧！

1、三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

2、 欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。

3、 欧拉线的证明： 作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。

4、连结AD、CD、AH、CH、OH。

5、作中线AM，设AM交OH于点G’。

6、 ∵ BD是直径， ∴ ∠BAD、∠BCD是直角。

7、 ∴ AD⊥AB，DC⊥BC。

8、 ∵ CH⊥AB，AH⊥BC， ∴ DA‖CH，DC‖AH。

9、 ∴ 四边形ADCH是平行四边形， ∴ AH=DC。

10、 ∵ M是BC的中点，O是BD的中点。

11、 ∴ OM= DC。

12、 ∴ OM= AH。

13、 ∵ OM‖AH， ∴ △OMG’ ∽△HAG’。

14、 ∴ 。

15、 ∴ G’是△ABC的重心。

16、 ∴ G与G’重合。

17、 ∴ O、G、H三点在同一条直线上。

18、在平面几何中，欧拉线（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和九点圆圆心（红点）的一条直线。

19、莱昂哈德·欧拉证明了在任意三角形中，以上四点共线。

20、欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

21、 [编辑]证明如图，H、G、O分别是△ABC的垂心、重心、外心，连AH，作△ABC的外接圆直径BOD，再连DB、DA，则DC⊥BC…①，DA⊥AB…② ∵H为△ABC垂心 ∴AH⊥BC…③，CH⊥AB…④ 由①、③可知DC‖AH，由②、④可知DA‖CH，故四边形ADCH为平行四边形，∴AH=DC。

22、∵点O与点M分别是BD、CB的中点 ∴DC=2OM，即AH=2OM。

23、作BC边上的中线AM,连OM、OH；设OH交AM与点G’ ∵OM⊥BC，△AHG’∽△MOG’，∴AG’=2G’M，因此G’即△ABC重心G。

24、 故△ABC的垂心H、重心G和外心O三点共线，直线HGO即欧拉线。

25、 [。

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