【等差等比数列公式】在数学中，数列是按照一定规律排列的一组数。其中，等差数列和等比数列是最常见的两种基本数列类型。它们在实际问题中应用广泛，如金融计算、物理运动分析、计算机算法设计等。以下是对等差数列与等比数列公式的总结。
一、等差数列
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，那么这个数列称为等差数列。
- 首项：$ a_1 $
- 公差：$ d $
- 第n项：$ a_n = a_1 + (n - 1)d $
前n项和公式：
$$
S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d] = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}
$$
二、等比数列
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数，那么这个数列称为等比数列。
- 首项：$ a_1 $
- 公比：$ r $
- 第n项：$ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $
前n项和公式（当 $ r \neq 1 $）：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
$$
三、对比表格
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每项与前一项的差为常数 | 每项与前一项的比为常数 |
| 首项 | $ a_1 $ | $ a_1 $ |
| 公差 | $ d $ | 无（用公比代替） |
| 公比 | 无 | $ r $ |
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $ |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$ r \neq 1 $） |
四、总结
等差数列和等比数列是数列中的基础模型，掌握它们的公式对于解决实际问题非常有帮助。等差数列适用于线性增长的情况，而等比数列则用于指数增长或衰减的问题。在学习过程中，理解其定义、公式及应用场景，有助于更好地运用这些知识解决问题。