问计算一个简单的二重极限

【计算一个简单的二重极限】在多元函数的分析中，二重极限是一个重要的概念，它描述了当两个变量同时趋近于某个值时，函数的极限行为。本文将通过一个具体的例子，展示如何计算一个简单的二重极限，并以加表格的形式呈现结果。

一、问题陈述

考虑函数：

$$

f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}

$$

求其在点 $(0, 0)$ 处的二重极限：

$$

\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}

$$

二、解题思路

1. 路径检验法：尝试沿不同路径接近原点（如 $y = kx$），观察极限是否一致。

2. 极坐标变换：将直角坐标转换为极坐标，简化表达式，判断极限是否存在。

3. 夹逼定理：利用不等式估计函数的大小，从而确定极限值。

三、解题过程

方法一：路径检验法

- 沿 $y = 0$ 路径：

$$

f(x, 0) = \frac{x^2 \cdot 0}{x^2 + 0} = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0} 0 = 0

$$

- 沿 $x = 0$ 路径：

$$

f(0, y) = \frac{0 \cdot y}{0 + y^2} = 0 \Rightarrow \lim_{y \to 0} 0 = 0

$$

- 沿 $y = x$ 路径：

$$

f(x, x) = \frac{x^2 \cdot x}{x^2 + x^2} = \frac{x^3}{2x^2} = \frac{x}{2} \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{x}{2} = 0

$$

- 沿 $y = x^2$ 路径：

$$

f(x, x^2) = \frac{x^2 \cdot x^2}{x^2 + x^4} = \frac{x^4}{x^2(1 + x^2)} = \frac{x^2}{1 + x^2} \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 + x^2} = 0

$$

从以上路径来看，所有路径下的极限均为 0，初步推测极限存在且为 0。

方法二：极坐标变换

令 $x = r \cos\theta$, $y = r \sin\theta$，则当 $(x, y) \to (0, 0)$ 时，$r \to 0$。

代入原函数得：

$$

f(r, \theta) = \frac{(r \cos\theta)^2 \cdot (r \sin\theta)}{(r \cos\theta)^2 + (r \sin\theta)^2} = \frac{r^3 \cos^2\theta \sin\theta}{r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)} = r \cos^2\theta \sin\theta

$$

因此，

$$

\lim_{r \to 0} r \cos^2\theta \sin\theta = 0

$$

由于该极限与 $\theta$ 无关，说明极限存在且为 0。

方法三：夹逼定理

由于 $x^2 y \leq x^2 y$，而 $x^2 + y^2 \geq x^2$，所以：

$$

\left \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} \right \leq \frac{x^2 y}{x^2} = y

$$

又因为 $y \to 0$ 当 $(x, y) \to (0, 0)$，由夹逼定理可知：

$$

\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = 0

$$

四、结论总结

通过多种方法验证，可以确认该二重极限存在且等于 0。

五、总结表格

注：虽然路径检验法不能完全证明极限存在，但结合其他方法可增强结论的可靠性。在实际应用中，建议使用极坐标或夹逼定理进行更严谨的分析。