【等比数列求和公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，这个常数称为公比。等比数列的求和公式是解决此类数列总和问题的关键工具。
等比数列的一般形式为：
$$ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} $$
其中，$ a $ 是首项，$ r $ 是公比，$ n $ 是项数。
当公比 $ r \neq 1 $ 时，等比数列的前 $ n $ 项和 $ S_n $ 的公式为：
$$ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$
如果 $ r = 1 $，则所有项都相等，此时的和为：
$$ S_n = a \cdot n $$
以下是对不同情况下的等比数列求和公式的总结：
| 公比 $ r $ | 求和公式 | 说明 |
| $ r \neq 1 $ | $ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | 适用于公比不等于1的情况 |
| $ r = 1 $ | $ S_n = a \cdot n $ | 所有项相等，直接乘以项数 |
通过上述公式，可以快速计算出等比数列的前 $ n $ 项和，尤其在实际应用中，如金融、物理、计算机科学等领域，具有广泛的应用价值。理解并掌握这些公式，有助于提高数学思维能力和问题解决能力。