【反函数基本公式】在数学中，反函数是函数的逆运算。如果一个函数 $ f $ 将输入 $ x $ 映射到输出 $ y $，那么它的反函数 $ f^{-1} $ 就会将 $ y $ 映射回 $ x $。反函数的存在条件是原函数必须是一一对应的（即单射且满射）。以下是对反函数基本公式的总结。
一、反函数的基本定义
若函数 $ y = f(x) $ 是一一对应的，则存在其反函数 $ x = f^{-1}(y) $，满足：
$$
f(f^{-1}(y)) = y \quad \text{和} \quad f^{-1}(f(x)) = x
$$
这表示：函数与其反函数在彼此的定义域与值域之间互为“逆操作”。
二、反函数的求法步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 设 $ y = f(x) $ |
| 2 | 将 $ y $ 表示为 $ x $ 的表达式 |
| 3 | 解这个方程，得到 $ x = f^{-1}(y) $ |
| 4 | 交换 $ x $ 和 $ y $，得到 $ y = f^{-1}(x) $ |
三、常见函数及其反函数对照表
| 原函数 $ y = f(x) $ | 反函数 $ y = f^{-1}(x) $ | 定义域 | 值域 |
| $ y = x + a $ | $ y = x - a $ | $ \mathbb{R} $ | $ \mathbb{R} $ |
| $ y = ax $ | $ y = \frac{x}{a} $ | $ \mathbb{R} $ | $ \mathbb{R} $ |
| $ y = e^x $ | $ y = \ln x $ | $ (0, \infty) $ | $ \mathbb{R} $ |
| $ y = \ln x $ | $ y = e^x $ | $ \mathbb{R} $ | $ (0, \infty) $ |
| $ y = x^n $（n > 0） | $ y = x^{1/n} $ | $ [0, \infty) $ | $ [0, \infty) $ |
| $ y = \sin x $ | $ y = \arcsin x $ | $ [-1, 1] $ | $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ |
| $ y = \cos x $ | $ y = \arccos x $ | $ [-1, 1] $ | $ [0, \pi] $ |
四、反函数的导数公式
若函数 $ y = f(x) $ 在某点可导，且导数不为零，则其反函数 $ x = f^{-1}(y) $ 的导数为：
$$
\frac{d}{dy} f^{-1}(y) = \frac{1}{f'(x)} \quad \text{其中 } x = f^{-1}(y)
$$
这说明：反函数的导数等于原函数导数的倒数，但要注意变量的变化关系。
五、反函数的图像性质
反函数的图像是原函数图像关于直线 $ y = x $ 对称的图形。因此，可以通过对称性来快速绘制或验证反函数的图像。
六、小结
反函数是函数的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。掌握反函数的基本公式、求解方法以及图像特性，有助于深入理解函数之间的相互关系，并在实际问题中灵活应用。
通过上述表格和总结，可以系统地了解反函数的基本内容，为后续学习打下坚实基础。